Deprecated: Required parameter $url follows optional parameter $data in /storage/content/30/1010230/c430.it/public_html/plugins/system/antispambycleantalk/classes/Cleantalk.php on line 269 TEOREMA DEI SENI

Il teorema dei seni stabilisce che in un generico triangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto resta costante.

QUANDO SI APPLICA E A CHE SERVE?

Il teorema del seno è valido per qualsiasi tipo di triangolo. Può essere quindi applicato sia ai triangoli rettangoli che isoceli o equilateri.

Si tratta di uno dei più importanti teoremi di trigonometria, perché si rivela utilissimo negli esercizi e nei problemi sui triangoli in cui c’è bisogno di conoscere la misura di un angolo o di un lato.

TEOREMA DEI SENI: FORMULA E DEFINIZIONE

Oltre alla prima definizione, che abbiamo dato all’inizio di questa lezione, il teorema del seno (o dei seni) si può anche definire in un secondo modo.

In ogni triangolo i rapporti tra le misure dei lati e il seno degli angoli opposti sono costanti ed uguali tra loro.

Dato il triangolo scaleno ABC, indichiamo con le lettere α β γ i tre angoli interni.

teorema-dei-seni

teorema-dei-seni-formula

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DEI SENI

Proviamo ora a dimostrare la validità di questo teorema. Ridisegniamoci il generico triangolo, cercando di ricondurlo ad un problema già risolto. In trigonometria sappiamo risolvere bene i triangoli rettangoli, per cui tracciamo l’altezza, dividendo la figura in due triangoli rettangoli.

teorema-dei-seni-dimostrazione

Andiamo ora ad applicare i teoremi sui triangoli rettangoli della trigonometria.

Dato il triangolo HCB, rettangolo in H, possiamo scrivere che:

h=c · sinβ

Dato il triangolo AHC, rettangolo in H, possiamo scrivere che:

h=b · sinγ

Uguagliando le due quantità otteniamo che:

b · sinγ = c · sinβ

Dividendo tutto per sinγ e sinβ, otteniamo:

dimostrazione-teorema-seni

Rispetto alla formula del teorema dei seni che abbiamo visto ad inizio lezione, manca il lato a. Per ottenere quest’ultima parte, è sufficiente ridisegnare il triangolo con l’altezza relativa questa volta al lato c.

teorema-seni-dimostrazione

Ripetiamo gli stessi passaggi fatti nel caso precedente per cui, considerando i due triangoli rettangoli AHC e AHB, possiamo scrivere le relazioni:

  • h = a · sinβ

  • h = b · sinα

Da cui otteniamo infine:

teorema-seni-parte-2

Possiamo a questo punto unire le due formule ottenute per ottenere la dimostrazione del teorema dei seni.

teorema-del-seno


Back to top