TEOREMA DEI SENI

Il teorema dei seni stabilisce che in un generico triangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto resta costante.

QUANDO SI APPLICA E A CHE SERVE?

Il teorema del seno è valido per qualsiasi tipo di triangolo. Può essere quindi applicato sia ai triangoli rettangoli che isoceli o equilateri.

Si tratta di uno dei più importanti teoremi di trigonometria, perché si rivela utilissimo negli esercizi e nei problemi sui triangoli in cui c’è bisogno di conoscere la misura di un angolo o di un lato.

TEOREMA DEI SENI: FORMULA E DEFINIZIONE

Oltre alla prima definizione, che abbiamo dato all’inizio di questa lezione, il teorema del seno (o dei seni) si può anche definire in un secondo modo.

In ogni triangolo i rapporti tra le misure dei lati e il seno degli angoli opposti sono costanti ed uguali tra loro.

Dato il triangolo scaleno ABC, indichiamo con le lettere α β γ i tre angoli interni.

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DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DEI SENI

Proviamo ora a dimostrare la validità di questo teorema. Ridisegniamoci il generico triangolo, cercando di ricondurlo ad un problema già risolto. In trigonometria sappiamo risolvere bene i triangoli rettangoli, per cui tracciamo l’altezza, dividendo la figura in due triangoli rettangoli.

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Andiamo ora ad applicare i teoremi sui triangoli rettangoli della trigonometria.

Dato il triangolo HCB, rettangolo in H, possiamo scrivere che:

h=c · sinβ

Dato il triangolo AHC, rettangolo in H, possiamo scrivere che:

h=b · sinγ

Uguagliando le due quantità otteniamo che:

b · sinγ = c · sinβ

Dividendo tutto per sinγ e sinβ, otteniamo:

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Rispetto alla formula del teorema dei seni che abbiamo visto ad inizio lezione, manca il lato a. Per ottenere quest’ultima parte, è sufficiente ridisegnare il triangolo con l’altezza relativa questa volta al lato c.

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